每天平均要打幾場才能拿到首勝?
前一陣子我在 twitch 打英雄聯盟，練一隻西歐帳號，剛好打到最近奧術剛出的時候滿 30 等了。
由於我希望每天都可以拿到首勝獎勵，經驗值比較多，因此每天都努力勤奮的盡量贏一場才睡覺。但我發現生活作息非常難控制，一場大約花 40 分鐘，有時候連輸六場，就覺得很崩潰。明明覺得六連勝超難，六連敗卻很有機會。
我想知道一般人打首勝是不是也有這種症頭，所以做了一些測試。
先講結論
想要拿到首勝，平均來說一天需要玩兩場。75% 的日子可以打 2 場就有首勝，比較倒霉的 6% 的日子要打 5 場才有首勝。
贏一場有多難
假設每人勝率都是 1/2 。我擔心有些人會覺得這假設就錯了，並認為我以下寫的沒有觀賞價值。
我們能做的，就是不過度強調個體的差異，落入偏差的陷阱中。這世界上大部分的人都認為自己長相在平均之上，自己智商在平均之上，自己的道德在平均之上。無情的是，這並不可能。
我認為，目前競技遊戲的 ELO 等級分機制已經十分成熟，或許有時候會連勝或連敗，但大部分的人勝率長期來講都不會脫離 1/2 太遠。
用國中數學算期望值
我有 1/2 的機率，本日第一場就贏了。
同樣的我也有機率是打兩場才拿到勝利。這時候第一場會是輸的，第二場會是贏的。機率為 1/2 * 1/2 = 1/4 。
同樣的我也有機率打到第 N 場才拿到勝利。這時候第一場到第 N 場都是輸的，最後一場是贏的。機率為 (1/2)^n 。
也就是說，有可能發生的情況是，在任意挑選的正整數下，我都有可能打到那個場數才贏。
根據期望值的定義，我們平均一天要打幾場，就可以算了。答案是平均一天要打兩場。這個可以用國中數學來算，為了不爆雷，計算過程我就不在這裡算了。
打個 100000 天來看看?
但我們通常不喜歡平均值。對於不均勻的分佈，有些機率分佈常會有左偏或是右偏的情況。這種時候平均值通常不能很好的代表整體狀況。有時候倒霉起來連輸連褲子都擋不住。
75% 的日子可以打 2 場就有首勝，95% 的日子最多 5 場就有首勝。但有可能在比較倒霉的狀況下需要花很多場才有首勝。例如最倒霉的 1% 最少要打 7 場，最倒霉的 0.1 %最少要打 10 場。
這故事告訴我們，如果你輸不起一定要打到贏，那你有 10% 的情況，就要打 4 場以上。這跟你的實力沒有任何關係，統計的分佈就是這樣。
連輸兩場還沒拿到首勝，也不用太緊張，覺得是不是你太爛。畢竟有 1/4 的機率會出現打了兩場還沒首勝，其實也不低了。
一定要生女兒
有些人一定要生女兒才罷休，卻連續生了好幾個兒子。可以套用上面計算的結果。 10% 的人，生四胎可能都沒有一個女兒。
幾何分佈
有趣的是統計學家早就把這種情況推廣到一個水很深的境界了。有個名詞叫做 Geometry distribution 專門描述這種機率分佈。請自行查看有興趣的部分，因為我不會。
